Kovarians

En kovarians er et spredningsforhold mellem to forskellige stokastiske variabler X og Y og betegnes $\text{Cov}(X,Y)$. Den regnes:

$\text{Cov}(X,Y)=\text{E}[(X-\text{E}(X))\cdot (Y-\text{E}(Y))]$

hvor $\text{E}(X)$ angiver middelværdien for $X$. En fortolkning af formlen er, at hvis $X$ er høj i forhold til sin middelværdi når $Y$ er høj i forhold til sin middelværdi (og ligeledes med lav), varierer $X$ og $Y$ "sammen" (derfra navnet kovarians, ko = sammen).

Kovarians er ikke uafhængig overfor skalering: Hvis $X$ bliver fordoblet, bliver kovariansen også fordoblet. Korrelation er et andet mål, som kan bruges, når man vil undgå dette problem.

Empiriske størrelser

For en stikprøve med $n$ datapunkter $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ og $(y_1,\dots ,y_n)$ beregnes empiriske kovarians således:

$\text{Cov}(X,Y)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})\cdot (y_i-\overline{y})$

hvor $\overline{x}$ er gennemsnittet af $x$

Regneregler

Rækkefølgen af X og Y er ligegyldig:

$\text{Cov}(X,Y)=\text{Cov}(Y,X)$

Kovariansen mellem en variabel og sig selv er lig variansen:

$\text{Cov}(X,X)=\text{Var}(X)$

Skaleres X og Y med konstanterne a henholdvist b, vil kovariansen skaleres med produktet af de to konstanter:

$\text{Cov}(a\cdot X,b\cdot Y)=a\cdot b\cdot \text{Cov}(X,Y)$

Kovarians kan også skrives

$\text{Cov}(X,Y)=\text{E}(X\cdot Y)-\text{E}(X)\cdot \text{E}(Y)$

Heraf følger, at hvis X og Y er uafhængige, vil kovariansen være nul, da $\text{E}(X\cdot Y)=\text{E}(X)\cdot \text{E}(Y)$ for uafhængige variable.

Se også

• Varians
• Korrelation
• Autokovarians