Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering er en teknik i algebra, hvis grundlæggende formål er at reducere en variabel med et polynomium af anden grad i en ligning eller i et matematisk udtryk, så der fremkommer et lineært polynomisk udtryk i anden potens. Derved gøres det i mange sammenhænge lettere at løse ligningen.

Oversigt

Ved kvadratkomplettering transformeres et andengradspolynomiom altså til et kvaderet lineært polynomiun og en konstant. Det betyder, at et polynomium af formen

$a{x}^2+bx$

ændres til et af formen

$(cx+d{)}^2+e$

Det bemærkes, at koefficienterne a, b, c, d og e ovenfor selv kan være matematiske udtryk og indeholde andre variable end x.

Den vigtigste anvendelse af kvadratkomplettering er at finde løsningerne til andengradsligningen.

Almindelig formel

For

$a{x}^2+bx=(cx+d{)}^2+e$

har vi

$c=\sqrt{a}$

$d=\frac{b}{2\sqrt{a}}$

$e=-d^2=-{\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)}^2$

Eller

$a{x}^2+bx={(x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}})}^2-{\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)}^2$

Eksempler

Eksempel 1

Et meget simpelt eksempel er:

$x^2+4x=x^2+4x+4-4=(x+2{)}^2-4$

Eksempel 2

Et andet simpelt eksempel er at finde rødderne af:

$\begin{array}{cccc}{x}^2+6x-16& =& 0& \\ x^2+6x& =& 16& \\ x^2+6x+(\frac{6}{2}{)}^2& =& 16+(\frac{6}{2}{)}^2& *\\ x^2+6x+9& =& 16+9& \\ (x+3{)}^2& =& 25& \\ (x+3)& =& \pm \sqrt{25}& \\ x+3& =& \pm 5& \\ x& =& \pm 5-3& \\ x& =& -8,2& \end{array}$

* kvadratkompletteringen

Eksempel 3

Betragt problemer med at finde følgende integral:

$\int \frac{dx}{9x^2-90x+241}$.

Det kan gøres ved hjælp af kvadratkomplettering af nævneren. Nævneren er

$9x^2-90x+241=9(x^2-10x)+241$.

Når kvadratet kompletteres ved at lægge (10/2)² = 25 til x² – 10x fås det perfekte kvadrat x² – 10x + 25 = (x – 5)². Derfor fås:

$9(x^2-10x)+241=9(x^2-10x+25)+241-9(25)=9(x-5{)}^2+16$.

Hvorfor integralet er

$\int \frac{dx}{9x^2-90x+241}=\frac{1}{9}\int \frac{dx}{(x-5{)}^2+(4/3{)}^2}=\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{4}\arctan \frac{3(x-5)}{4}+C$.

Eksempel 4

Som en generalisering af eksempel 2, kan rødderne af:

$x^2+bx+c=0$,

findes ved at omforme ligningen, så "x" og "x i anden" ikke længere optræder. For at opnå dette, kompletteres kvadratet: tag halvdelen af koefficienten til "x", kvadrer den, og læg den til på begge sider af lighedstegnet, således:

$\begin{array}{cccc}{x}^2+bx+c& =& 0& \\ x^2+bx& =& -c& \\ x^2+bx+(\frac{b}{2}{)}^2& =& -c+(\frac{b}{2}{)}^2& *\\ (x+\frac{b}{2}{)}^2& =& (\frac{b}{2}{)}^2-c& \\ (x+\frac{b}{2})& =& \pm \sqrt{(\frac{b}{2}{)}^2-c}& \\ x& =& -\frac{b}{2}\pm \sqrt{(\frac{b}{2}{)}^2-c}& \end{array}$

* kvadratkomplettering

Eksempel 5 (den generelle andengradsligning)

Eksempel 4 kan generaliseres yderligere til at finde løsningerne til den generelle andengradsligning

$a{x}^2+bx+c=0$

idet der først foretages kvadratkomplettering således:

$\begin{array}{ccc}a{x}^2+bx+c& =& a(x^2+\frac{bx}{a})+c\\ & =& a(x^2+\frac{bx}{a}+(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}))+c\\ & =& a(x^2+\frac{bx}{a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2)-a\frac{b^2}{4a^2}+c\\ & =& a(x^2+2\frac{bx}{2a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2)-a\frac{b^2}{4a^2}+c\\ & =& a{(x+\frac{b}{2a})}^2-a\frac{b^2}{4a^2}+c\end{array}$.

hvoraf

$\begin{array}{ccc}{(x+\frac{b}{2a})}^2& =& \frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\\ x+\frac{b}{2a}& =& \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}\\ x& =& \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}-\frac{b}{2a}\\ & =& \frac{\pm \sqrt{4a^2(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a})}}{2a}-\frac{b}{2a}\\ & =& \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$

Komplekse versioner af kvadratkomplettering

Betragt udtrykket

$|z{|}^2-b^{*}z-b{z}^{*}+c,$

hvor $z$ og $b$ er komplekse tal, $z^{*}$ og $b^{*}$ er de komplexe conjugationer af henholdsvis $z$ og $b$, og $c$ er et reelt tal. Dette kan udtrykkes på denne måde:

$|z-b{|}^2-|b{|}^2+c,$

som klart er en virkelig mængde. Det er fordi

$\begin{array}{ccc}|z-b{|}^2& =& (z-b)(z-b{)}^{*}\\ & =& (z-b)(z^{*}-b^{*})\\ & =& z{z}^{*}-z{b}^{*}-b{z}^{*}+b{b}^{*}\\ & =& |z{|}^2-z{b}^{*}-b{z}^{*}+|b{|}^2\end{array}$

Ligeledes kan udtrykket

$a{x}^2+b{y}^2+c,$

hvor $a$, $x$, $b$, $y$ og $c$ er reelle tal og $a>0$ samt $b>0$, udtrykkes ved kvadratet af den absolutte værdi af et komplekst tal. Defineres

$z=\sqrt{a}x+i\sqrt{b}y,$

så

$\begin{array}{ccc}|z{|}^2& =& z{z}^{*}\\ & =& (\sqrt{a}x+i\sqrt{b}y)(\sqrt{a}x-i\sqrt{b}y)\\ & =& a{x}^2-i\sqrt{a}\sqrt{b}xy+i\sqrt{b}\sqrt{a}yx-i^{2}b{y}^2\\ & =& a{x}^2+b{y}^2\end{array}$

hvorfor

$a{x}^2+b{y}^2+c=|z{|}^2+c.$

Se også

• kvadratsætningen