Laplace-operatoren

Laplace-operatoren er en differential-operator, som skrives ∇², ∆ eller ∇·∇. Laplace-operatoren anvendes bl.a. i partielle differentialligninger, vektoranalyse, og fysikteorier som elektromagnetisme og kvantemekanik. Laplace-operatoren er opkaldt efter den franske matematiker og astronom Pierre-Simon Laplace (1749-1827).

Laplace-operatoren i forskellige koordinatsystemer

To dimensioner

Laplace-operatoren er givet ved

$\mathrm{\Delta }f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

hvor x og y er de almindelige kartesiske koordinater af xy-planet. Heraf ses, at Laplaceoperatoren af en funktion er det samme som divergensen af gradienten af samme funktion, hvoraf skrivemåderne ∇² og ∇·∇.

I polære koordinater

I et polært koordinatsystem er Laplace-operatoren givet ved

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }f& =\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}\\ & =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}.\end{array}$

Tre dimensioner

I tre dimensioner er det almindeligt at arbejde med Laplace-operatoren i forskellige koordinatsystemer, og et bestemt koordinatsystem vælges ofte ud fra problemets form for at gøre beregningerne så simple som muligt.

I kartesiske koordinater:

$\mathrm{\Delta }f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}.$

I cylindriske koordinater:

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}.$

I sfæriske koordinater:

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}.$

Se også

Nabla ∇ der benyttes som det symbolske grundlag.