Maxwell-Boltzmann-fordelingen

Maxwell-Boltzmann-fordelingen for forskellige temperaturer, hvor $x=v$ og $a=\sqrt{\frac{k_{\text{B}}T}{m}}$. Det ses, at fordelingen forskydes mod højere hastigheder, når temperaturen stiger.

Maxwell-Boltzmann-fordelingen beskriver hastigheds- og fartfordelingen af partiklerne i en idealgas i termisk ligevægt jf. den kinetiske gasteori. Fordelingen af fart $v$ er givet ved:

$f(v)=\frac{4}{\sqrt{\pi }}{\left(\frac{m}{2k_{\text{B}}T}\right)}^{\frac{3}{2}}{v}^2{\text{e}}^{-\frac{m{v}^2}{2k_{\text{B}}T}}$

hvor $T$ er gassens temperatur, $k_{\text{B}}$ er Boltzmanns konstant, og $m$ er en enkelt partikels masse. Hvis en tilfældig partikel i gassen udvælges, er sandsynligheden for, at den har en fart i intervallet $v$ til $v+\text{d}v$ altså givet ved $f(v)\text{d}v$.

Udledning

Siden partiklerne i en idealgas ikke interagerer med hinanden udover ved elastiske sammenstød, er deres energi $E$ blot lig med deres kinetiske energi

$E=\frac{1}{2}m{\overrightarrow{v}}^2$

hvor $\overrightarrow{v}$ er hastigheden.

Hastighedsfordeling

Jf. Boltzmann-fordelingen må fordelingen af kinetisk energi følge en eksponentialfunktion:

$f_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{v})\propto {\text{e}}^{-\frac{E}{k_{\text{B}}T}}={\text{e}}^{-\frac{m{\overrightarrow{v}}^2}{2k_{\text{B}}T}}$

Da

${\overrightarrow{v}}^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2$

for hver retning $x$, $y$ og $z$, er fordelingsfunktionen altså en funktion af tre variable:

$f_{\overrightarrow{v}}(v_x,v_y,v_y)\propto {\text{e}}^{-\frac{m{v}_x^2}{2k_{\text{B}}T}}{\text{e}}^{-\frac{m{v}_y^2}{2k_{\text{B}}T}}{\text{e}}^{-\frac{m{v}_z^2}{2k_{\text{B}}T}}$

En én-dimensionel normalfordeling omkring 0.

Det ses, at fordelingen er fordelt sfærisk symmetrisk omkring 0 som en normalfordeling, hvilket vil sige, at partiklerne ikke bevæger sig i en foretrukken retning. For at normere fordelingen skal integralet give 1:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{\overrightarrow{v}}(v_x,v_y,v_y)\text{d}{v}_x\text{d}{v}_y\text{d}{v}_z=1$

Da det gaussiske integrale er

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\text{e}}^{-\alpha x^2}\text{d}x=\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}$

må det for fordelingsfunktionen gælde:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\text{e}}^{-\frac{m{v}_x^2}{2k_{\text{B}}T}}{\text{e}}^{-\frac{m{v}_y^2}{2k_{\text{B}}T}}{\text{e}}^{-\frac{m{v}_z^2}{2k_{\text{B}}T}}\text{d}{v}_x\text{d}{v}_y\text{d}{v}_z=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\text{e}}^{-\frac{m{v}_x^2}{2k_{\text{B}}T}}\text{d}{v}_x\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\text{e}}^{-\frac{m{v}_y^2}{2k_{\text{B}}T}}\text{d}{v}_y\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\text{e}}^{-\frac{m{v}_z^2}{2k_{\text{B}}T}}\text{d}{v}_z=\sqrt{\frac{2\pi k_{\text{B}}T}{m}}\sqrt{\frac{2\pi k_{\text{B}}T}{m}}\sqrt{\frac{2\pi k_{\text{B}}T}{m}}$

Dermed er fordelingsfunktionen for hastigheder

$f_{\overrightarrow{v}}(v_x,v_y,v_y)={\left(\frac{m}{2\pi k_{\text{B}}T}\right)}^{\frac{3}{2}}{\text{e}}^{-\frac{m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}{2k_{\text{B}}T}}$

Det ses desuden, at fordelingen flader ud, jo højere temperaturen bliver.

Fartfordelingen

Fartfordelingen for forskellige ædelgasser ved 298.15 K (25 °C). Jo lettere atomerne er, jo mere udfladet er fordelingen.

For at finde fartfordelingen skal hastighedernes retninger integreres væk. Pga. symmetrien kan sfæriske koordinater med fordel bruges:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{\overrightarrow{v}}(v,\mathrm{\Omega })v^2\text{d}v\text{d}\mathrm{\Omega }=1$

Her er $\mathrm{\Omega }$ rumvinklen. Integralet over rumvinklen er $4\pi$, så fartfordelingen bliver

$f(v)=\frac{4}{\sqrt{\pi }}{\left(\frac{m}{2k_{\text{B}}T}\right)}^{\frac{3}{2}}{v}^2{\text{e}}^{-\frac{m{v}^2}{2k_{\text{B}}T}}$

I modsætning til hastighedsfordelingen er fartfordelingen altså ikke symmetrisk omkring 0.

Kildehenvisninger

• Skabelon:Commonscat