Relation (matematik)

Eksempel på en simpel relation R, som forbinder elementerne 1, 2 og 3 i mængden A til venstre med elementerne 5 og 6 i mængden B til højre.

En relation er i matematisk forstand en sammenknytning mellem elementer fra to eller flere forskellige mængder. Illustrationen til højre viser et eksempel på en relation R mellem to mængder, A og B: Relationen knytter bestemte elementer fra A sammen med elementer fra B, hvilket er vist som pile mellem de relevante elementer. Som et "hverdagseksempel" på en relation kan man tænke sig, at mængden A på illustrationen repræsenterer en husstand, med medlemmerne "1", "2" og "3", mens elementerne i mængden B er husstandens telefoner: "5" er husets fælles fastnet-telefon; på dette nummer kan man (som regel) komme i kontakt med alle tre medlemmer i husstanden, så derfor er der pile hertil fra alle tre medlemmer af husstanden. "6" er en mobiltelefon, der kun bruges af ét af husstandens medlemmer; derfor er der kun én pil der fører til telefon "6".

Notation

Relationen i det indledende eksempel skrives helt kort:

$R:A\to B$

Udtrykt "ikke-matematisk" kan det læses som: "Relationen R forbinder medlemmer af mængden A, med medlemmer af mængden B".

Sammenknytning mellem konkrete elementer skrives som $R(a)=b$ og kan bruges til at definere selve relationen. Skrevet på denne form ser ovenstående eksempel-relation således ud:

R = {(1; 5), (1; 6), (2; 5), (3; 5)}

Bemærk at hver pil mellem de to mængder på illustrationen ovenfor, svarer til et af de talpar der er omgivet af runde parenteser.

Relationer og funktioner

Selv om ordet relation undertiden bliver brugt synonymt med begrebet funktion (afbildning), er der forskel: Funktion er et specialtilfælde af relationer, hvor der er netop to mængder involveret (kaldet definitionsmængde og værdimængde), og hvor der til alle elementer i definitionsmængden er knyttet højst ét element i værdimængden.

Klassifikation af relationer

En relation ~ på en mængde M kaldes

• refleksiv, hvis x ~ x for alle x ∈ M,
• symmetrisk, hvis x ~ y ⇒ y ~ x for alle x, y ∈ M,
• antisymmetrisk, hvis x ~ y og y ~ x ⇒ x = y for alle x, y ∈ M,
• transitiv, hvis x ~ y og y ~ z ⇒ x ~ z for alle x, y, z ∈ M,

• en ækvivalensrelation, hvis ~ er refleksiv, symmetrisk og transitiv,
• en partiel ordning, hvis ~ er refleksiv, antisymmetrisk og transitiv.

En partiel ordning ≤ på en mængde M kaldes en total ordning, hvis x ≤ y eller y ≤ x for alle x, y ∈ M.

Eksempel på en relation: arctan

Graf for funktionen tangens. Til en given værdi af $y$, her 2, svarer et uendeligt antal mulige $x$-værdier.

Figuren illustrerer (dele af) grafen for den matematiske funktion tangens. Den del af grafen, som går gennem origo, er vist med grøn farve. Definitionsmængden for tangens er

$\text{Dm(tan)}=ℝ\setminus \{n\cdot \frac{\pi }{2}|n=\cdots -3,-1,1,3\cdots \}$

altså alle reelle tal pånær ulige multipla af $\pi /2$. Da $\tan$ er en funktion, vil det til ethvert $x$ i definitionsmængden høre netop ét $y$, nemlig $y=\tan (x)$.

Derimod findes der ikke nogen omvendt funktion til $\tan$. For som det fremgår af illustrationen, kan der til et givet $y\in ℝ$ knyttes uendeligt mange $x$. Men man kan definere en relation ~ mellem $x$ og $y$ givet ved

$x$ ~ $y\iff y=\tan (x)$

På illustrationen har $y$ værdien 2. Vi har derfor relationen

$\{x_0+n\cdot \pi |n\in \mathbb{N}\}$ ~ 2

hvor $\tan (x_0)=2$.