Panserformlen

Panserformlen er en matematisk formel der bruges når man skal finde en fuldstændig løsning ud fra en lineær differentialligning af første orden.

Formlen giver løsningen til differentialligningen

$y^{\prime }+h(x)y=g(x)$

for to kontinuerte funktioner, $h$ og $g$, under betingelsen $y(x_0)=k$. Formlen er givet ved:

$y(x)=e^{-H(x)}(\int e^{H(x)}g(x)dx+c)$,

hvor $H(x)=\int h(x)dx$ er en stamfunktion til $h(x)$.

Bevis

Panserformlen kan bevises ved at antage, at en stamfunktion $H(x)$ til $h(x)$ eksisterer. På begge sider af differentialligningen multiplicerer man først med $e$ opløftet i $H(x)$ sådan:

$e^{H(x)}{y}^{\prime }+e^{H(x)}h(x)y=e^{H(x)}g(x)$

$\iff$ Da der gælder at:

$\frac{d}{dx}\left(e^{H(x)}\right)=e^{H(x)}\frac{d}{dx}(H(x))=e^{H(x)}h(x)$

kan man skrive differentialligningen sådan:

$e^{H(x)}{y}^{\prime }+\frac{d}{dx}\left(e^{H(x)}\right)y=e^{H(x)}g(x)$

$\iff$ Vha. produktreglen for differentiation kan man føje de to led med $y$ sammen sådan:

$\frac{d}{dx}\left(e^{H(x)}y\right)=e^{H(x)}g(x)$

$\iff$ Man integrerer mht. $x$ på begge sider, hvilket ophæver differentiationen på venstresiden:

$e^{H(x)}y-c=\int e^{H(x)}g(x)dx$

hvor $c$ er en integrationskonstant, som tilhører de reelle tal.

$\iff$ Konstanten flytter man over på højresiden, og man dividerer med $e^{H(x)}$ sådan:

$y=e^{-H(x)}(\int e^{H(x)}g(x)dx+c)$

Så har man isoleret $y$. Den endelige integrationskonstant kan man nu bestemme, hvis $y$ er kendt til et bestemt punkt $x_0$, således at $y(x_0)=k$.

Panserformlen er hermed bevist.

Q.E.D.

Der findes et alternativt bevis for panserformlens korrekthed.

Se også

• Nålestiksmetoden