Regneregler for differentiation

Skabelon:Kilder Her er nogle regneregler for differentiation. Det forudsættes at alle funktioner er differentiable og dermed kontinuerte for den givne definitionsmængde:

• $y(x)=k$, hvor $k$ er en konstant, har den afledede $y^{\prime }(x)=0$
• (1): $y(x)=x\cdot k$, hvor $k$ er en konstant, har den afledede $y^{\prime }(x)=k$
• $y(x)=k\cdot x^n$ har den afledede $y^{\prime }(x)=k\cdot n\cdot x^{n-1}$, og heraf
• $y(x)=\frac{1}{x}$ har den afledede $y^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$, undtagen for x=0

Funktioner der er sammensatte funktioner samt funktioner der er summen, differensen, produktet eller kvotienten af to differentiable funktioner er selv differentiable (med visse, åbenlyse begrænsninger i definitionsmængderne). Differentialkvotienterne kan udregnes efter følgende regler:

• $(f\circ g{)}^{\prime }(x)=(f(g(x)){)}^{\prime }=g^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(g(x))$ (kædereglen)
• (2): $(f+g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$ (sumreglen)
• $(f-g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)$ (differensreglen)
• $(f\cdot g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$ (produktreglen)
• $\left(\frac{1}{g}\right)(x)=-\frac{g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$, undersøges for g(x)=0
• $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}=f^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{g(x)}+f(x)\cdot (-\frac{g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2})$, undersøges for g(x)=0 (følger af $(f\cdot h{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot h^{\prime }(x)$ og $\left(\frac{1}{g}\right)(x)=-\frac{g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$)

• Differentiation er linear. (følger af (1) og (2) )

• Sinus-funktionen $\sin (x)$ har differentialkvotienten ${\sin }^{\prime }(x)=\cos x$
• Cosinus-funktionen $\cos (x)$ har differentialkvotienten ${\cos }^{\prime }(x)=-\sin x$
• Tangens, $\tan (x)$, har differentialkvotienten ${\tan }^{\prime }(x)=1+{\tan }^2(x)$
• Den naturlige eksponentialfunktion, $e^x$, er pr. definition lig med sin differentialkvotient. Dvs. at konstanten e er defineret til at være det reelle tal som opfylder ligningen $\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$.
• Eksponentialfunktionen $y(x)=a^x$ hvor $a$ er en konstant, har differentialkvotient $y^{\prime }(x)=\ln (a)a^x$, hvor $\ln$ er den naturlige logaritmefunktion
• Den naturlige logaritme, $\ln (x)$, har differentialkvotienten ${\ln }^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$

Differentialkvotienten af summen af to differentiable funktioner

Sumreglen lader differentialkvotienten af summen af to differentiable funktioner beregnes.

Sætning

En funktion, f(x), der er givet som en sum:

$f(x)=v(x)+u(x)$

har differentialkvotienten

$f^{\prime }(x)=v^{\prime }(x)+u^{\prime }(x)$

Dvs. differentialkvotienten af summen $v(x)+u(x)$er lig med summen af funktionernes differentialkvotienter.

Bevis

Først finder vi sekantens hældning, eller differenskvotienten:

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

Da f(x)=v(x)+u(x), får vi:

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{v(x+\mathrm{\Delta }x)+u(x+\mathrm{\Delta }x)-(v(x)+u(x))}{\mathrm{\Delta }x}$

Ovenstående ligning kan let omskrives til følgende:

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{v(x+\mathrm{\Delta }x)-v(x)}{\mathrm{\Delta }x}+\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

Hvis $\mathrm{\Delta }x\to 0$(dvs. tilvæksten på x-aksen bliver uendelig lille), så går brøken mod grænseværdierne. Det er hermed bevist, at

$\frac{d}{dx}u(x)+v(x)=v^{\prime }(x)+u^{\prime }(x)$

$Q.E.D.\frac{}{}$

Differentialkvotienten af produktet af to differentiable funktioner

Produktreglen lader differentialkvotienten af produktet af to differentiable funktioner beregnes.

Sætning

En funktion, f(x), der er givet som et produkt:

$f(x)=v(x)\cdot u(x)$

har differentialkvotienten

$f^{\prime }(x)=v^{\prime }(x)\cdot u(x)+v(x)\cdot u^{\prime }(x)$

Bevis

Først findes sekantens hældning, eller differenskvotienten:

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

Hvilket, idet f(x) = v(x)u(x), bliver

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{v(x+\mathrm{\Delta }x)\cdot u(x+\mathrm{\Delta }x)-v(x)\cdot u(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

Der lægges følgende til differenskvotientens tæller, hvorpå det samme trækkes fra igen. Dette giver 0, således er dette fuldt lovligt.

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{v(x+\mathrm{\Delta }x)\cdot u(x+\mathrm{\Delta }x)-v(x)\cdot u(x)+v(x+\mathrm{\Delta }x)\cdot u(x)-v(x+\mathrm{\Delta }x)\cdot u(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

u(x) og v(x+dx) kan nu sættes uden for parentes, og derefter kan brøkstregen deles op:

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{v(x+\mathrm{\Delta }x)[u(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)]+u(x)[v(x+\mathrm{\Delta }x)-v(x)]}{\mathrm{\Delta }x}$

$\Updownarrow$

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{v(x+\mathrm{\Delta }x)[u(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)]}{\mathrm{\Delta }x}+\frac{u(x)[v(x+\mathrm{\Delta }x)-v(x)]}{\mathrm{\Delta }x}$

$\Updownarrow$

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=v(x+\mathrm{\Delta }x)\left[\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right]+u(x)\left[\frac{v(x+\mathrm{\Delta }x)-v(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right]$

Differentialkvotienten bliver således:

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\left(\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\right)$

Hvilket i det generelle tilfælde er:

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }(v(x+\mathrm{\Delta }x)\left[\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right]+u(x)\left[\frac{v(x+\mathrm{\Delta }x)-v(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right])$

$\Updownarrow$

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }(v(x+\mathrm{\Delta }x))\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\left[\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right]+\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }(u(x))\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\left[\frac{v(x+\mathrm{\Delta }x)-v(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right]$

Der kan nu ses at dette bliver til; hvis de overordnede fire led tages grænseværdien af:

$f^{\prime }(x)=v(x)\cdot u^{\prime }(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)\frac{}{}$

Umiddelbart ville man ikke tro at $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }(v(x+\mathrm{\Delta }x))=v(x)$, og dette er heller ikke fuldstændig rigtigt, dette gælder kun hvis v(x) er kontinuert. Det er hermed bevist at (kortere skrevet, "(x)" udlades):

$\frac{d}{dx}u(x)\cdot v(x)=v^{\prime }\cdot u+v\cdot u^{\prime }$

$Q.E.D.\frac{}{}$

Differentialkvotienten af brøken af to differentiable funktioner

Kvotientreglen lader differentialkvotienten af brøken af to differentiable funktioner beregnes.

Sætning

En funktion, f(x), der er givet som en brøk:

$f(x)=\frac{v(x)}{u(x)}$

har differentialkvotienten

$f^{\prime }(x)=\frac{v^{\prime }(x)\cdot u(x)-v(x)\cdot u^{\prime }(x)}{u(x{)}^2}$

Eksterne henvisninger

• Sum-/differens- og konstantreglen Fra Matlet.dk.
• Regneregler for differentialkvotienten Fra Web-matematik.