Reciprokke Fibonacci-konstant

Den reciprokke Fibonacci-konstant, eller ψ, er defineret som summen af de reciprokke værdier af Fibonacci-tallene:

$\psi =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{F_k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{13}+\frac{1}{21}+\cdots .$

Da forholdet mellem to på hinanden følgende led, $\frac{F_{k+1}}{F_k}$, nærmer sig den reciprokke værdi af det gyldne snit, $\frac{1}{\phi }=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=0,6180339887\dots .$, og da det er mindre end 1, siger kvotientkriteriet at summen konvergerer.

Værdien af ψ er cirka

$\psi =3,359885666243177553172011302918927179688905133732\dots .$

Bill Gosper har beskrevet en hurtig algoritme for beregning af den approksimative værdi. Den reciprokke Fibonacci-række giver O(k) cifres nøjagtighed for k led, mens Gospers konvergens-acceleration giver O(k²) cifre. ψ er et irrationalt tal. Dette blev formodet af Paul Erdős, Ronald Graham og Leonard Carlitz, og bevist i 1989 af Richard André-Jeannin.

Tallets kædebrøks repræsentation er givet ved:

$\psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\dots ].$

Ekstern henvisning

• Reciprocal Fibonacci Constant på MathWorld