Bølgeligningen

Skabelon:Kilder Bølgeligningen er en partiel andenordens differentialligning, der beskriver en bølges afhængighed af tid og sted. I dens simpleste form er der tale om ligningen

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2},$

hvor $u(x,t)$ er bølgens amplitude, og $v$ er dens udbredelseshastighed. Dette er en såkaldt hyperbolsk partiel differentialligning af anden orden, eftersom der er tale om andenafledte i forhold til hhv. $t$ (tid) og $x$ (sted).

Bølgeligningen beskriver amplitudens rum- og tidsudvikling, dvs. hvordan bølgens form ændres efterhånden som den udbredes. Løsningens konkrete form vil afhænge af randbetingelserne i problemet, som fx kan være bølgens form ved $t=0$.

Bølgeligningen er generel og beskriver alle bølgefænomener i fysikken. Bølgen kan være 1-dimensionel, som fx en simpel planbølge, 2-dimensionel som fx en membran, 3-dimensionel som fx et elektromagnetisk felt, eller højeredimensionel i mere komplicerede sammenhænge.

Flere dimensioner

Hvis rummet bølgen befinder sig i har højere dimension end et, vil dens amplitude afhænge af flere stedkoordinater, hvis tilhørende afledte alle er med i differentialligningen. De stedafledte erstattes af Laplace-operatoren, og bølgeligningen bliver fx i 3 dimensioner

${\mathrm{\nabla }}^{2}u(\overrightarrow{r},t)-\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}u(\overrightarrow{r},t)}{\partial t^2}=0.$

Se også

• Dispersionsrelationen