Beltrami-identiteten

Beltrami-identiteten er inden for variationsregning en forsimpling af Euler-Lagrange-ligningen.

Identiteten

For et variationsproblem på formen:

$\delta \int L[y,\dot{y},x]dx=0$

hvor

$\dot{y}\equiv \frac{\text{d}y}{\text{d}x}$

er den generelle løsning en Euler-Lagrange-ligning:

$\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right)=0$

Hvis $L$ ikke eksplicit afhænger af $x$, reducerer ligningen til den simplere Beltrami-identitet:

$L-\dot{y}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}=C$

hvor $C$ er en konstant.

Udledning

At $L$ ikke eksplicit afhænger af $x$, betyder, at den partielt afledte mht. $x$ er 0:

$\frac{\partial L}{\partial x}=0$

Den almindelige afledte

$\frac{\text{d}L}{\text{d}x}=\dot{y}\frac{\partial L}{\partial y}+\ddot{y}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}+\frac{\partial L}{\partial x}$

er da givet ved:

$\frac{\text{d}L}{\text{d}x}=\dot{y}\frac{\partial L}{\partial y}+\ddot{y}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}$

Dette kan omarrangeres:

$\dot{y}\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\text{d}L}{\text{d}x}-\ddot{y}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}$

Tilsvarende kan Euler-Lagrange-ligningen ganges med $\dot{y}$:

$\dot{y}\frac{\partial L}{\partial y}-\dot{y}\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right)=0$

Udtrykket for det første led kan indsættes:

$\frac{\text{d}L}{\text{d}x}-\ddot{y}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}-\dot{y}\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right)=0$

Det er det samme som:

$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}L}{\text{d}x}-\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\dot{y}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right)& =0\\ \frac{\text{d}}{\text{d}x}(L-\dot{y}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}})& =0\end{array}$

Siden den afledte er nul, må udtrykket være lig med en konstant $C$:

$L-\dot{y}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}=C$

Dermed er Beltrami-identiteten udledt.

Anvendelse

Inden for analytisk mekanik i fysik er $L$ Lagrangen, mens konstanten er den negative Hamilton $H$:

$H=-C=\dot{y}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}-L$

Den afledte Lagrange kaldes for den generaliserede impuls $p$:

$p=\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}$

$x$ repræsenterer tiden, hvilket vil sige, at Hamiltonen for et system er bevaret, hvis Lagrangen ikke eksplicit afhænger af tiden.