Euler-Lagrange-ligning

Som illustreret er der et vejintegrale for enhver vej. Med Euler-Lagrange-ligningen kan vejen, der minimerer integralet, findes.

En Euler-Lagrange-ligning er en partiel differentialligning, for hvilken det gælder, at løsningen er en mængde af funktioner, som opfylder at den første afledte for en given funktional (se funktional-afledte) er lig nul. Euler-Lagrange-ligningen optræder bl.a. inden for analytisk mekanik som betingelsen for stationering af virkningsfunktionalen for et givent mekanisk system.

Ligningen

Givet et funktional på formen

$J[q_1,...,q_n]=\underset{a}{\overset{b}{\int }}L(x,q_1(x),...,q_n(x),q{\text{'}}_1(x),...,{q_n}^{\prime }(x))dx$

da er den første funktional-afledte mht.$q_i$ ved $x$ givet ved:

$\frac{\delta J}{\delta q_i(x)}=\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial L}{\partial q{\text{'}}_i}$

$J$ er stationær, når den funktional-afledte er lig nul, hvorved Euler-Lagrange-ligningerne fås:

$\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial L}{\partial q{\text{'}}_i}=0\mathrm{\forall }i$

Hvis $L$ ikke eksplicit afhænger af $x$, reduceres ligningen til Beltrami-identiteten:

$L-q{\text{'}}_i\frac{\partial L}{\partial q{\text{'}}_i}=C_i\mathrm{\forall }i$

hvor $C_i$ er konstant.

Udledning

Et funktional på formen

$J=\underset{a}{\overset{b}{\int }}L(x,q,q^{\prime })dx$

skal stationeres:

$\delta J=\delta \underset{a}{\overset{b}{\int }}L(x,q,q^{\prime })dx=0$

Variationen i $J$ kan skrives ved variationerne i $q$ og $q^{\prime }$: Skabelon:NumBlk hvor

$\delta q^{\prime }\equiv \frac{d}{dt}\left(\delta q\right)$

Det kræves desuden, at variationen i hver ende er nul: Skabelon:NumBlk Pga. produktreglen gælder:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q^{\prime }}\delta q\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q^{\prime }}\right)\delta q+\frac{\partial L}{\partial q^{\prime }}\frac{d}{dt}\left(\delta q\right)$

Og dermed:

$\frac{\partial L}{\partial q^{\prime }}\frac{d}{dt}\left(\delta q\right)=-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q^{\prime }}\right)\delta q+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q^{\prime }}\delta q\right)$

Dette indsættes i lign. Skabelon:EquationNote, og integralet splittes op:

$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}[\frac{\partial L}{\partial q}\delta q-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q^{\prime }}\right)\delta q+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q^{\prime }}\delta q\right)]dx& =0\\ \underset{a}{\overset{b}{\int }}[\frac{\partial L}{\partial q}\delta q-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q^{\prime }}\right)\delta q]dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q^{\prime }}\delta q\right)dx& =0\\ \underset{a}{\overset{b}{\int }}[\frac{\partial L}{\partial q}\delta q-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q^{\prime }}\right)\delta q]dx+{\left[\frac{\partial L}{\partial q^{\prime }}\delta q\right]}_a^b& =0\end{array}$

Pga. lign. Skabelon:EquationNote gælder:

${\left[\frac{\partial L}{\partial q^{\prime }}\delta q\right]}_a^b=0$

Derfor:

$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}[\frac{\partial L}{\partial q}\delta q-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q^{\prime }}\right)\delta q]dx& =0\\ \underset{a}{\overset{b}{\int }}[\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q^{\prime }}\right)]\left(\delta q\right)dx& =0\end{array}$

Integralet består nu af to faktorer. Siden integralet altid skal være nul, og det skal gælde for alle variationer af $q$, må den første faktor være nul:

Dermed er Euler-Lagrange-ligningen udledt.

Endimensionelt eksempel

Et bestemt mekanisk system beskrevet ved én koordinat $x$ og med potentialet $V$ har Lagrangefunktionen:

$L(x,\dot{x})=T(\dot{x})-V(x)=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-V(x)$

Dvs. at den kinetiske energi er givet som for en klassisk punktmasse med massen $m$ og hastigheden:

$\dot{x}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$,

mens den potentielle energi afhænger af positionen (den potentielle energi ville fx i et homogent tyngdefelt være givet på formen:

$V(x)=mgx$

Systemet vil udvikle sig således at virkningen $I$ stationeres,

$I=\int Ldt$

Systemets dynamik er derfor beskrevet ved Euler-Lagrange-ligningen:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0$

$\Downarrow$

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial (\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-V(x))}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial (\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-V(x))}{\partial x}=0$

$\Downarrow$

$\frac{d}{dt}\left(m\dot{x}\right)+\frac{\partial V(x)}{\partial x}=0$

$\Downarrow$

$m\ddot{x}+\frac{\partial V(x)}{\partial x}=0$

$\Downarrow$

Eftersom den dobbelte tidsafledte mht. positionen er accelerationen og den positionsafledte mht. det negative potentiale svarer til kraftkomposanten i $x$-retningen, svarer Skabelon:EquationNote til Newtons anden lov.

$F=m\ddot{x}$