Harmonisk række

Musik, harmonisk række

I matematikken er den harmoniske række den uendelige række

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots .$

Rækken og dens egenskaber

Rækken kaldes den harmoniske række, fordi bølgelængderne af overtonerne af en vibrerende streng er proportionelle til 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . Rækken divergerer (langsomt) mod uendelig. Dette kan vises ved at bemærke, at den harmoniske række er ledvist større end eller lig rækken

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-\lceil {\log }_{2}k\rceil }=1+\left[\frac{1}{2}\right]+[\frac{1}{4}+\frac{1}{4}]+[\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}]+\frac{1}{16}\cdots$

$=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots$

som tydeligvis divergerer. (Dette bevis, der skyldes Nicole Oresme, er et højdepunkt i middelalderens matematik.) Faktisk gælder også, at summen af de reciprokke primtal

$\sum _p\frac{1}{p}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\cdots ,$

også divergerer mod uendelig (men dette er væsentligt sværere at bevise.) Den alternerende harmoniske række konvergerer derimod:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=\ln 2.$

Dette er et resultat af Taylorrækken af den naturlige logaritme.

Hvis det n'te harmoniske tal defineres som

$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k},$

gælder, at H_n vokser omtrent så hurtigt som den naturlige logaritme på n. Grunden hertil er, at summen approksimeres af integralet

$\underset{1}{\overset{n}{\int }}\frac{1}{x}dx,$

hvis værdi er ln(n). Mere præcis haves grænseværdien:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{H}_n-\ln (n)=\gamma ,$

hvor γ er Euler-Mascheroni-konstanten. Det er blevet vist, at

1. Det eneste heltallige H_n er H₁.
2. Differensen H_m − H_n hvor m > n aldrig er et heltal.

Jeffrey Lagarias beviste i 2001, at Riemannhypotesen er ækvivalent med udsagnet

$\sigma (n)\le H_n+\ln (H_n)e^{H_n}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},$

hvor σ(n) er summen af de positive divisorer af n.

Andre relevante definitioner

Den generelle harmoniske række er på formen

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{an+b}.$

Der gælder, at alle harmoniske rækker divergerer.

Rækkerne

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}$

for p a positive real number kaldes p-rækkerne. Rækkerne konverger for p > 1 og divergerer ellers. For p = 1 er rækken den harmoniske række. Hvis p > 1 er summen af rækken ζ(p); det vil sige Riemanns zetafunktion på p.

Harmoniske middeltal

Et hvert led i den harmoniske række, er det harmoniske middeltal af sine to naboled

$a=\frac{1}{n-1},b=\frac{1}{n},c=\frac{1}{n+1}$

Vi kan sige at b er det harmoniske middeltal mellem a og c. Det underbygges ved

$2ac=2\cdot \frac{1}{n-1}\cdot \frac{1}{n+1}=\frac{2}{(n-1)(n+1)}=\frac{2}{n^2-1}$

$a+c=\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n+1}=\frac{n+1+n-1}{(n-1)(n+1)}=\frac{2n}{n^2-1}$

Med de to mellemregninger ovenover fås nu

$\frac{2ac}{a+c}=\frac{\frac{2}{n^2-1}}{\frac{2n}{n^2-1}}=\frac{2}{n^2-1}\cdot \frac{n^2-1}{2n}=\frac{2}{2n}=\frac{1}{n}=b$

Se også

• Riemanns zetafunktion