Riemanns zetafunktion

I matematikken er Riemanns zetafunktion, opkaldt efter Bernhard Riemann, en betydningsfuld funktion i talteorien, da den fortæller om fordelingen af primtal. Den har også anvendelser i andre områder, såsom fysik, sandsynlighedsteori og anvendt statistik.

Definition

Riemanns zetafunktion for reelle s > 1

Riemanns zetafunktion ζ(s) er defineret for alle komplekse tal s med realdel > 1 ved Dirichletrækken:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

Denne uendelige række konvergerer på $\{s\in ℂ\mid \mathrm{\Re }(s)>1\}$ og definerer en analytisk funktion på området. Bernhard Riemann indså, at zetafunktionen med analytisk fortsættelse på entydig vis kan udvides til en meromorf funktion ζ(s) defineret for alle komplekse tal s med s ≠ 1. Det er denne funktion, der anvendes i Riemannhypotesen.

Værdier ved heltalsværdier af x

De følgende er zetafunktionens værdier for enkelte små tal.

$\zeta (1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots =\mathrm{\infty }$; dette er den harmoniske række.

$\zeta (2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$; demonstrationen af denne lighed er kendt som Baselproblemet.

$\zeta (3)=1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots \approx 1.202\dots$; dette tal kaldes Apérys konstant.

$\zeta (4)=1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{90}$

$\zeta (5)=1+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{3^5}+\cdots \approx 1.036\dots$

$\zeta (6)=1+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{3^6}+\cdots =\frac{{\pi }^6}{945}$

$\zeta (7)=1+\frac{1}{2^7}+\frac{1}{3^7}+\cdots \approx 1.0083\dots$

$\zeta (8)=1+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{3^8}+\cdots =\frac{{\pi }^8}{9450}$

$\zeta (9)=1+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{3^9}+\cdots \approx 1.0020\dots$

$\zeta (10)=1+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\cdots =\frac{{\pi }^{10}}{93555}$

$\zeta (12)=1+\frac{1}{2^{12}}+\frac{1}{3^{12}}+\cdots =\frac{691{\pi }^{12}}{638512875}$

$\zeta (14)=1+\frac{1}{2^{14}}+\frac{1}{3^{14}}+\cdots =\frac{2{\pi }^{14}}{18243225}$