Invertibel matrix

Indenfor lineær algebra har en matrix A egenskaben invertibel, hvis og kun hvis der eksisterer en matrix B således at:

$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\underset{\_}{\underset{\_}{B}}=\underset{\_}{\underset{\_}{B}}\underset{\_}{\underset{\_}{A}}=\underset{\_}{\underset{\_}{I}}$

hvor $\underset{\_}{\underset{\_}{I}}$ er enhedsmatricen. I så fald kaldes $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$ en invertibel matrix og $\underset{\_}{\underset{\_}{B}}$ kaldes den inverse matrix til $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$ og skrives ${\underset{\_}{\underset{\_}{A}}}^{-1}$. Det følger af definitionen at både $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$ og ${\underset{\_}{\underset{\_}{A}}}^{-1}$ er kvadratiske matricer af samme dimension n×n.

En invertibel matrix kaldes også for en regulær matrix (eller en ikke-singulær matrix). En kvadratisk matrix som ikke er invertibel kaldes for en singulær matrix (eller en ikke-regulær matrix).

Ækvivalente egenskaber

At en n × n-matrix $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$ er invertibel er ækvivalent med at:

• Determinanten af $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$ ikke er nul, det $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$ ≠ 0.
• $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$ har rang n.
• Ligningen $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ har kun den trivielle løsningen $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$. Med andre ord, nulrummet består kun af nulvektoren.
• Den transponerede ${\underset{\_}{\underset{\_}{A}}}^T$ er invertibel.
• Tallet 0 er ikke en egenværdi til $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$.

Se også

• Gauss-elimination