Konvergent følge

En konvergent følge er en talfølge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n,\dots )$, som konvergerer mod et eller andet tal $a$, dvs. har dette $a$ som grænseværdi; dette vil sige, at fra et eller andet sted i følgen ligger alle elementer vilkårligt tæt på $a$.

Formelt kan man sige, at talfølgen konvergerer mod $a$, hvis der til ethvert positivt tal $\epsilon$ (uanset hvor arbitrært lille) kan findes et naturligt tal $N$, således at for alle $n\ge N$ vil afstanden $|a_n-a|$ være mindre end tallet $\epsilon$. Definitionen kan skrives kortfattet med kvantorer:

$\mathrm{\exists }a\in ℝ\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:n\ge N\Rightarrow |a_n-a|<\epsilon$

En følge, der ikke er konvergent, kaldes divergent.

Kilder

• Talfølger og -rækker: Introduktion til Matematisk Analyse. Af Dan Belfoft og Klaus Thomsen. Aarhus Universitet 2010.