Nabla-operatoren

Nabla-operatoren er i matematikkens verden en differentialoperator indenfor matematisk analyse med vektorer, repræsenteret ved symbolet nabla (∇).

Under normale omstændigheder kan man vælge at betragte Nabla-operatoren som en vektor, om end det er en noget speciel vektor.

I det tredimensionelle rum, ${ℝ}^3$, vil ∇ for et retvinklet koordinatsystem se således ud (i kartesiske koordinater):

$\mathrm{\nabla }=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$

Brug af Nabla

Denne operator bruges i flere forskellige sammenhænge:

Gradient

Den første type af brug er i forbindelse med bestemmelse af gradienten, der til en vis grad kan sammenlignes med differentialkvotienten af en funktion. Denne type beregning bruges ved funktioner af flere variable:

$\text{grad}f=\mathrm{\nabla }f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$

Divergens

Divergensen af et vektorfelt $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)$ inkluderer også Nabla-operatoren, men ved denne type beregning bruges den som et skalarprodukt.

$\text{div}\overrightarrow{v}=\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v}=\frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}+\frac{\partial v_3}{\partial z}$

Rotation

Rotationen af et vektorfelt $v$ findes ved krydsproduktet mellem et vektorfelt og Nabla, og har således en vektor som resultat.

$\text{rot}\overrightarrow{v}=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v}=(\frac{\partial v_3}{\partial y}-\frac{\partial v_2}{\partial z},\frac{\partial v_1}{\partial z}-\frac{\partial v_3}{\partial x},\frac{\partial v_2}{\partial x}-\frac{\partial v_1}{\partial y})$

Laplace-operatoren

Der findes endvidere en anden type af operator, kaldet Laplace operatoren der betegner hvad man kunne kalde den anden afledede. Denne noteres på følgende måder:

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\Delta }f=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f$

Definitioner

• Et gradientfelt er rotationsfrit

Bevis:

For afbildningen $f:{ℝ}^3\to ℝ$

Lad da $\overrightarrow{V}=\mathrm{\nabla }f=(f{\text{'}}_x,f{\text{'}}_y,f{\text{'}}_z)$

Da er $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{V}=\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }f)=(f^{\prime }{\text{'}}_{zy}-f^{\prime }{\text{'}}_{yz},f^{\prime }{\text{'}}_{xz}-f^{\prime }{\text{'}}_{zx},f^{\prime }{\text{'}}_{yx}-f^{\prime }{\text{'}}_{xy})=(0,0,0)=\overrightarrow{0}$

Jævnfør at differentiationsrækkefølgen er ligegyldig ved mere end to afledninger.

• Et rotationsfelt er divergensfrit

Bevis:

Givet et vektorfelt $\overrightarrow{V}=(V_x,V_y,V_z)$

Da vil: $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{V}=(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z},\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x},\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y})$

Og dermed: $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{V})=(\frac{\partial V_z}{\partial y\partial x}-\frac{\partial V_y}{\partial z\partial x}+\frac{\partial V_x}{\partial z\partial y}-\frac{\partial V_z}{\partial x\partial y}+\frac{\partial V_y}{\partial x\partial z}-\frac{\partial V_x}{\partial y\partial z})=0$ Skabelon:Matematikstub