Poisson-Boltzmann-ligningen

Poisson-Boltzmann-ligningen beskriver interagerende ladningsbærere i form af ioner og evt. elektroner. Et hverdagseksempel er køkkensalt opløst i vand.

I plasmaer og elektrolytter beskriver Poisson-Boltzmann-ligningen, hvordan det elektriske felt spreder sig pga. elektrisk skærmning; dvs. når ladninger udligner hinanden. Den lineariserede version kaldes for Debye-Hückel-ligningen.

Ligningen er opkaldt efter Siméon Denis Poisson og Ludwig Boltzmann, men modellen blev oprindeligt formuleret uafhængigt af Louis Georges Gouy og David Leonard Chapman i henholdsvis 1910 og 1913.

Udledning

Det elektriske felt $\overrightarrow{E}$ fra en ladningsdensitetet $\rho$ er generelt givet ved Gauss' lov:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=\frac{\rho }{\epsilon }$

Det elektriske potential $\phi$, dvs. potentiel energi pr. ladning, er relateret til det elektriske felt ved

$\overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\phi$

og derfor er det relateret til ladningsdensiteten ved en Poisson-ligning:

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =-\frac{\rho }{\epsilon }$

Plasma og elektrolytter består af mobile ladninger i form af ioner og elektroner. Densiteten $n_s$ af hver af disse giver samlet ladningsdensiteten:

$\rho =e\sum _s{Z}_s{n}_s$

Indsættes udtrykket for ladningsdensiteten i relationen for det elektriske potential, ses det, at

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =-\frac{e}{\epsilon }\sum _s{Z}_s{n}_s$

Interaktionsenergien $E_s$ mellem en ladningsbærer og det elektriske felt er givet ved:

$E_s=e{Z}_s\phi$

Densiteten kan dermed findes vha. Boltzmann-fordelingen:

$n_s=n_s^{\circ }{e}^{-\frac{E_s}{k_{B}T}}=n_s^{\circ }{e}^{-\frac{e{Z}_s\phi }{k_{B}T}}$

hvor $n_s^{\circ }$ er densiteten, hvis potentialet er nul. Det antages her, at hele systemet har opnået termodynamisk ligevægt og dermed har samme temperatur $T$ overalt. Dermed bliver ligningen for $\phi$:

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =-\frac{e}{\epsilon }\sum _s{Z}_s{n}_s^{\circ }{e}^{-\frac{e{Z}_s}{k_{B}T}\phi }$

Hvis der er eksterne ladninger ${\rho }_{\text{ext}}$ kan de lægges til:

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =-\frac{e}{\epsilon }\sum _s{Z}_s{n}_s^{\circ }{e}^{-\frac{e{Z}_s}{k_{B}T}\phi }-\frac{{\rho }_{\text{ext}}}{\epsilon }$

Dette er Poisson-Boltzmann-ligningen. Ud fra denne differentialligning kan $\phi$ findes, skønt det ofte er nødvendigt at finde en numerisk løsning.

Alternativt kan den lineariseres, hvilket giver Debye-Hückel-ligningen.