Sinusrelation

En vilkårlig trekant

Sinusrelationen er en matematisk formel inden for trigonometrien, der sammenfatter længden af en trekants sider og størrelsen af dens vinkler i et regneudtryk: Dividerer man længden af en side med sinus til den modstående vinkel, får man samme forholdstal for alle tre "par" af sider og modstående vinkler. Almindeligvis kaldes siderne for a, b og c og deres modstående vinkler for hhv. A, B og C, og med den notation ser formlen således ud:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

hvor R er radius i trekantens omskrevne cirkel.

Til beregning af vinklerne i en trekant kan denne omskrivning bruges:

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$

Bemærk at sinusrelationen gælder for alle trekanter.

Formlen kan bruges til at finde enten sidelængder eller vinkler i en trekant ved at lave en ligning ud af to af de tre brøker, og isolere enten en side eller en vinkel på den ene side af lighedstegnet. I sidstnævnte tilfælde fås, at sinus til en vinkel er lig med en given størrelse – og sådan en ligning har to principale løsninger: en stump eller en spids vinkel. Da det gælder, at $\sin (180-v)=\sin (v)$ kan man ikke se forskel på stump eller spids, og der kan være to løsninger til trekanten. Derfor bruges sinusrelationen kun til at bestemme vinkler i trekanter, hvor cosinusrelationerne eller andre formler ikke giver entydige løsninger.

Bevis for sinusrelationerne

Der findes tre formler for udregning af areal i vilkårlige trekanter, som alle er lig T. (se trekant) Disse må derfor nødvendigvis være lig hinanden.

$\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin C$

Der divideres med $\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot c$ på alle sider af lighedstegnene:

$\frac{\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin A}{\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot c}=\frac{\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin B}{\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot c}=\frac{\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin C}{\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot c}$

Dette resulterer i:

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$

Sinusrelationen for sfæriske trekanter

For sfæriske trekanter på en kugleoverflade gælder en tilsvarende sinusrelation:

$\frac{\sin A}{\sin a}=\frac{\sin B}{\sin b}=\frac{\sin C}{\sin c}$

Da det gælder for sinus-funktionen at

$\underset{a\to 0}{\lim }\frac{\sin a}{a}=1$

ses at den sfæriske sinusrelation vil tilnærme sig den sædvanlige sinusrelation når sidelængderne går mod 0, svarende til den sfæriske trekants krumning aftager.

Se også

• Sinus (matematik)
• Trekant
• Trekanttilfælde
  • Retvinklet trekant
• Cosinusrelation
• Sfærisk trigonometri

Bøger

• Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle. Skabelon:ISBN
• Schultz, Jonny (1990): Matematik højniveau 1 - plangeometri og rumgeometri. Forlaget Trip, Vejle. Skabelon:ISBN

Eksterne henvisninger

CosSinCalc – Et online-værktøj, der udregner siderne og vinklerne på en trekant for dig.