Wavelet-transformation

1D-Wavelets af typen Daubechies-4. Den blå er Wavelet-skaleringsfunktionen - og den røde er den "standard" Wavelet-funktionen.

1D-Wavelets af typen Daubechies-4 i frekvensfunktionsrummet. Her ses det Wavelet-skaleringsfunktionen har flest lavfrekvente frekvenser (blå) - og at den røde "standard" Wavelet-funktion har flest højfrekvente frekvenser.

Indenfor matematik er en wavelet-række en repræsentation af en kvadratisk integrabel (reel- eller kompleks-værdi) funktion af en bestemt ortonormal række genereret af en wavelet. Denne artikel viser en formel, matematisk definition af en ortonormal wavelet og af den integrale wavelet-transformation også kaldet den integrale wavelet-afbildning.

Formel definition

En funktion $ψ \in L^{2} (ℝ)$ kaldes for en ortonormal wavelet hvis den kan anvendes til at definere et Hilbert-basis, som er en fuldstændigt ortonormalt system, for Hilbertrummet $L^{2} (ℝ)$ af kvadratisk integrable funktioner. Hilbert basen bliver konstrueret som familien af funktioner ${ψ_{j k} : j, k \in ℤ}$ ved hjælp af dyadiske translationer og dilationer af $ψ$ ,

ψ_{j k} (x) = 2^{j / 2} ψ (2^{j} x - k)

for heltal $j, k \in ℤ$ . Denne familie er et ortonormalt system hvis det er ortonormalt under det indre produkt

⟨ ψ_{j k}, ψ_{l m} ⟩ = δ_{j l} δ_{k m}

hvor $δ_{j l}$ er Kroneckers delta og $⟨ f, g ⟩$ er det standard indre produkt $⟨ f, g ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) \overline{g (x)} d x$ på $L^{2} (ℝ) .$ Fuldstændigskravet er at enhver funktion $h \in L^{2} (ℝ)$ kan ekspanderes i basis som

h (x) = \sum_{j, k = - \infty}^{\infty} c_{j k} ψ_{j k} (x)

med rækkekonvergensforstået som værende normkonvergens. Sådan en funktionsrepræsentation f er kendt som en wavelet-række. Dette medfører at en ortonormal wavelet er selv-dual.