Atomare enheder

Skabelon:Forveksles Atomare enheder er et enhedssystem, hvor faktorer kan sættes lig med 1 og derved gøre ligninger simplere. Atomare enheder bruges hovedsageligt inden for atomfysik og kvantekemi.

Motivation og definition

Schrödinger-ligningen for en elektron i et Coulomb-potential - et brintatom - er med SI-enheder givet ved:

$(\frac{-{\hslash }^2}{2m_{\mathrm{e}}}{\mathrm{\nabla }}^2-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r})|\psi ⟩=E|\psi ⟩$

Det første led er den kinetiske energi, hvor $i$ er den imaginære enhed, $\hslash$ er Plancks konstant divideret med $2\pi$, $m_{\mathrm{e}}$ er elektronens masse, og ${\mathrm{\nabla }}^2$ er Laplace-operatoren. Det andet led er potentialet fra atomkernen, hvor $e$ er en elementarladning, ${\epsilon }_0$ er vakuumpermittiviteten, og $r$ er afstanden til atomkernen. På højre side er $E$ elektronens energi. Elektronen er på begge sider repræsenteret af bølgefunktionen $|\psi ⟩$.

Denne ligning er fuld af faktorer, som kan sætte lig med 1. Dette kan vises ved først at omskrive afstandene til at være givet ved antal $\lambda$, hvor $\lambda$ er ukendt:

$\begin{array}{cc}x& \to \lambda x\\ y& \to \lambda y\\ z& \to \lambda z\\ r& \to \lambda r\end{array}$

Når dette indsættes, er den første faktor nu divideret med ${\lambda }^2$ pga. Laplace-operatoren, mens den anden faktor er divideret med $\lambda$:

$(\frac{-{\hslash }^2}{2m_{\mathrm{e}}{\lambda }^2}{\mathrm{\nabla }}^2-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\lambda }\frac{1}{r})|\psi ⟩=E|\psi ⟩$

For at faktorerne kan sættes uden for parantesen, skal de være lig med hinanden. Derved kan $\lambda$ bestemmes:

$\begin{array}{cc}\frac{{\hslash }^2}{m_{\mathrm{e}}{\lambda }^2}& =\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\lambda }\\ \frac{{\hslash }^2}{m_{\mathrm{e}}\lambda }& =\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\\ \lambda & =\frac{4\pi {\epsilon }_0}{e^2}\frac{{\hslash }^2}{m_{\mathrm{e}}}\end{array}$

Dette er Bohr-radiussen

$\lambda =a_0$

og den atomare enhed for afstand kaldes derfor for Bohr, hvor:

$1\text{ Bohr}=a_0=0,52918\text{ Å}$

Faktorerne kan nu flyttes uden for parantesen:

$\frac{m_{\mathrm{e}}{e}^4}{(4\pi {\epsilon }_0{)}^2{\hslash }^2}(-\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{r})|\psi ⟩=E|\psi ⟩$

Denne faktor har enhed af energi, og energien $E$ omdefineres derfor til at være antallet af denne størrelse:

$E\to \frac{m_{\mathrm{e}}{e}^4}{(4\pi {\epsilon }_0{)}^2{\hslash }^2}E$

Den atomare enhed for energi kaldes for Hartree, hvor

$1\text{ Hartree}=\frac{m_{\mathrm{e}}{e}^4}{(4\pi {\epsilon }_0{)}^2{\hslash }^2}=27,211\text{ eV}$

Schrödinger-ligningen med atomare enheder skrives altså

$(-\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{r})|\psi ⟩=E|\psi ⟩$

hvilket er meget simplere end før.

Som eksempel har elektronens grundtilstand jf. Bohrs atommodel nu energien $-\frac{1}{2}$ Hartree eller blot $-\frac{1}{2}$.