Kurveintegral

Kurveintegral af et skalarfelt f

Et kurveintegral er i matematiken et integral hvor den funktion der skal integreres evalueres langs en kurve. Det må ikke forveksles med det integral hvormed man kan finde kurvelængden.

Den funktion der skal integreres kan være et skalar- eller vektorfelt. Værdien af kurveintegralet, er summen af alle værdierne langs kurven, og denne skal være angivet som en parametrisering mellem kurvens endepunkter.

Hvis kurven er lukket kaldes integralet for et lukket kurveintegral eller et konturintegral.

Vektoranalyse

Et kurveintegral indenfor vektoranalysen er et integral af et skalar- eller vektorfelt langs en kurve C. Hvis kurven kan parametriseres med en funktion $𝐫(t),a\le t\le b$, kan kurveintegralet for et skalarfelt defineres ved

$\underset{C}{\int }\varphi ds=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\varphi (𝐫(t))|{𝐫}^{\prime }(t)|dt$

og for et vektorfelt

$\underset{C}{\int }𝐀\cdot 𝐝𝐫=\underset{a}{\overset{b}{\int }}𝐀(𝐫(t))\cdot {𝐫}^{\prime }(t)dt$

Hvis kurven C er lukket, kaldes kurveintegralet for et lukket integral og betegnes

${\oint }_C𝐀\cdot 𝐝𝐫$

Stokes sætning beskriver sammenhængen mellem lukkede kurveintegraler og fladeintegraler.

Fundamentalsætningen for kurveintegraler

Hvis et vektorfelt F er gradienten til et skalarfelt G (dvs. F er et konservativt felt)

$\mathrm{\nabla }G=𝐅,$

så er den afledte af den sammensatte funktion af G og r(t)

$\frac{dG(𝐫(t))}{dt}=\mathrm{\nabla }G(𝐫(t))\cdot {𝐫}^{\prime }(t)=𝐅(𝐫(t))\cdot {𝐫}^{\prime }(t)$

hvilket er identisk med integranden for kurveintegralet af F langs r(t). Det følger at, givet kurven C, så har vi

$\underset{C}{\int }𝐅(𝐫)\cdot d𝐫=\underset{a}{\overset{b}{\int }}𝐅(𝐫(t))\cdot {𝐫}^{\prime }(t)dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{dG(𝐫(t))}{dt}dt=G(𝐫(b))-G(𝐫(a)).$

Med andre ord, integralet af F over C afhænger kun af værdierne af G i endepunkterne r(b) og r(a), og er dermed uafhængig af den valgte vej.
Fundamentalsætningen for kurveintegraler kaldes også for Gradient teoremet.