Nilpotent matrix

I matematikken og i særdeleshed i lineær algebra er en nilpotent matrix en n×n kvadratisk matrix M, hvor

$M^q=0$

for et naturligt tal q, hvor 0 betegner nulmatricen. På samme måde er en nilpotent transformation en lineær transformation L med $L^q=0$ for et naturligt tal q.

Der er specielle tilfælde af et mere generelt nilpotensbegreb, der ikke kun gælder for matricer og lineære transformationer men for alle elementer i ringe.

Eksempler

Betragt matricen

$\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$

Den er et eksempel på en 4×4 nilpotent matrix. Bemærk ikke-nul-indgangene i superdiagonalen. Den karakteristiske egenskab ved denne matrix fremstår af potensopløftningen, idet

$N^2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right];N^3=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right];N^4=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$

Superdiagonalen 'rykker en tak op', indtil man til sidst opnår nulmatricen.

Den tilhørende nilpotente transformation L : R⁴ → R⁴ er defineret ved:

$L(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_2,x_3,x_4,0).$

Egenskaber

Lad M være en n×n nilpotent matrix.

• Det mindste heltal q, der opfylder, at M^q = 0 er mindre end eller lig med n.
• Egenværdierne af M er alle nul. Faktisk gælder, at en matrix er nilpotent, hvis og kun hvis dens egenværdier er nul.
• Det karakteristiske polynomium af M er λⁿ.
• Determinanten og sporet af M er begge nul.
• Enhver streng øvre trekantsmatrix og streng nedre trekantsmatrix er nilpotent.

Klassifikationssætning

Ovenstående eksempel er typisk, som det følgende resultat viser. Enhver nilpotent er kongruent til en blokdiagonalmatrix

$\left[\begin{array}{ccccc}{N}_1& 0& 0& \dots & 0\\ 0& N_2& 0& \dots & 0\\ 0& 0& N_3& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & N_k\end{array}\right],$

hvor blokkene $N_i$ har ettaller på superdiagonalen og nultaller alle andre steder:

$N_i=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& \dots & 0& 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1& 0\\ 0& 0& 0& \dots & 0& 1\\ 0& 0& 0& \dots & 0& 0\end{array}\right].$