Rydbergs formel

Hydrogen-spektret på en logaritmisk skala.

Rydbergs formel beskriver emissionsspektret fra brint og brint-lignende ioner. Den udsendte bølgelængde $\lambda$ er for brint givet ved:

$\frac{1}{\lambda }=R_{\mathrm{H}}(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2});n<m$

hvor $R_{\mathrm{H}}=10.973.731,6{\text{m}}^{-1}\approx 1,097\cdot 10^7{\text{m}}^{-1}$ er Rydbergs konstant, mens $n$ og $m$ er positive heltal. For brint-lignende ioner, hvor der stadig kun er én elektron, men kernen har en ladning på $Z$ elementarladninger, er formlen givet ved:

$\frac{1}{\lambda }=Z^2{R}_{\mathrm{H}}(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2});n<m$

Formlen blev formuleret af den svenske fysiker Johannes Rydberg i 1888.

Serier

Ved at sætte $n$ lig med en bestemt værdier kan forskellige tidligere spektralserier udledes:

$n$	$m$	Navn	Konvergerer imod
1	2 – Skabelon:Math	Lyman-serien	91.13 nm (UV)
2	3 – Skabelon:Math	Balmer-serien	364.51 nm (Synligt)
3	4 – Skabelon:Math	Paschen-serien	820.14 nm (Infrarødt)
4	5 – Skabelon:Math	Brackett-serien	1458.03 nm (Fjerninfrarødt)
5	6 – Skabelon:Math	Pfund-serien	2278.17 nm (Fjerninrarødt)
6	7 – Skabelon:Math	Humphreys-serien	3280.56 nm (Fjerninrarødt)

Serierne konvergerer, fordi det andet led i Rydbergs formel går mod nul, når $m$ går mod uendelig.

Udledning

Skabelon:Hovedartikel Rydbergs formel er lige til at udlede fra Bohrs atommodel. I den kan elektronerne kun antage diskrete energiniveauer givet ved:

$E=-\frac{m{e}^4}{2(4\pi {\epsilon }_0{)}^2{\hslash }^2}\left(\frac{1}{n^2}\right)$

hvor $n$ igen er et positivt heltal. I formlen er $e$ elementarladningen, $m$ er elektronens masse, ${\epsilon }_0$ er vakuumpermittiviteten, og $\hslash$ er Plancks reducerede konstant. Hvis en elektron nu går fra en høj tilstand $m$ til en lav tilstand $n$, er energiændringen givet ved:

$\mathrm{\Delta }E=E_m-E_n=\frac{m{e}^4}{2(4\pi {\epsilon }_0{)}^2{\hslash }^2}(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2})$

Energien frigives i form af en foton, hvis energi er proportional med frekvensen $\nu$:

$\mathrm{\Delta }E=h\nu$

Her er $h$ Plancks konstant. Frekvensen er lysets fart $c$ divideret med $\lambda$, så

$h\frac{c}{\lambda }=\frac{m{e}^4}{2(4\pi {\epsilon }_0{)}^2{\hslash }^2}(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2})$

eller

$\frac{1}{\lambda }=\frac{m{e}^4}{2(4\pi {\epsilon }_0{)}^2{\hslash }^{2}hc}(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2})$

Dermed er Rydbergs formel udledt, hvor Rydbergs konstant altså er lig med:

$R_{\mathrm{H}}=\frac{m{e}^4}{2(4\pi {\epsilon }_0{)}^2{\hslash }^{2}hc}=\frac{m{e}^4}{8{\epsilon }_0^2{h}^{3}c}$

Udtrykket $e^4$ kommer fra Coulombs lov, så der skal blot ganges en faktor $Z^2$ på for at generalisere til andre atomkerner.

Eksterne henvisninger

• Video om Rydbergs formel